1. Ausbildung und beruflicher Werdegang
Alain Connes’ Leidenschaft für die Mathematik zeigte sich schon auf dem Gymnasium. Nach seinem Studium an der französischen Lehrerbildungsanstalt École Normale Supérieure strebte er keine Agrégation an, da er sich früh für die Forschung entschied. 1970-1974 arbeitete er am staatlichen Forschungszentrum CNRS, wo er 1973 promovierte. Nach einem 18-monatigen Auslandsaufenthalt wurde er 1976 Assistenzprofessor an der Universität Paris VI und später zum Professor berufen.

Er empfand die Lehrtätigkeit, die ihn total vereinnahmte, als „schrecklichen Irrtum“. 1981 kehrte er für einige Jahre ans CNRS zurück. 1985 wurde er ans Collège de France berufen, wo er seither lehrt. Das dort übliche Lehrdeputat von nur 18 Vorlesungsstunden pro Jahr scheint nicht sehr groß zu sein. Der Unterricht darf allerdings nur die eigenen Forschungen und noch nicht veröffentlichtes Material zum Gegenstand haben. Diese Auflage regt die Forschungstätigkeit an und ist für die Wissenschaftler sehr befriedigend, erfordert aber eine ständige Anpassung des Lehrstoffs und macht die Vorbereitung letztlich sehr aufwändig.


2. Alain Connes’ Arbeit, die Bedeutung der Physik und die Definition seines Forschungsgebiets, der nichtkommutativen Geometrie
Im Laufe der Jahre wandte sich Connes von der reinen Mathematik immer stärker der Physik zu, insbesondere der nichtkommutativen Geometrie, die ihn seit seiner Jugend beschäftigt. Was ist darunter zu verstehen? Wir haben eine visuelle Wahrnehmung der Geometrie. Selbst den Nichtfachleuten gelingt es, geometrische Objekte und Geometrie im Allgemeinen im Geist abzubilden. Die Alten Griechen (insbesondere Euklid – A. d. Ü.) formulierten die Geometrie axiomatisch, das heißt, sie verfährt deduktiv nach bestimmten Regeln. Zum Beispiel: „Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau eine Parallele zu dieser Geraden.“ Darin ähnelt die Geometrie einem formalen Spiel, wo ebenfalls logische Schlussfolgerungen aus Axiomen gezogen werden. Das änderte sich später mit der Entdeckung der Algebra. Durch sie wurde es möglich, ein Quadrat und einen Kubus zu addieren, was absonderlich und kontra-intuitiv erscheint. Doch die Algebra entwickelte sich von dem Moment an, als die Mathematik sich zu dem Entschluss durchrang, ein Polynom, eine Summe von Monomen, zu definieren, von denen eines ein Quadrat und das andere ein Kubus sein kann.

Descartes begriff, dass man Geometrie ohne axiomatische Schlussfolgerungen und allein durch algebraische Rechnungen betreiben kann. Wenn man Kurven ausgehend von algebraischen Berechnungen zeichnet, kommt man zu einer anderen Art des Verstehens, die sich nicht auf formale Ableitungen beschränkt. Das hat die Infinitesimalrechnung möglich gemacht (Newton usw.). Heute ist bekannt, dass es einen Teil des Gehirns gibt, der geometrisch denkt, und einen anderen, der algebraisch oder sprachlich denkt. Der sprachliche Teil schreibt Sätze. Wie steht es mit der nichtkommutativen Geometrie? In der kommutativen Algebra behält man beim Schreiben eines Satzes nur die Anzahl der A’s, der B’s, der C’s usw. Wichtig ist einzig und allein, wie häufig die Buchstaben vorkommen. In der nichtkommutativen Geometrie dagegen behält man die Wörter so, wie sie sind, bei und darf die Reihenfolge der Buchstaben in einem Wort nicht verändern. Daher schließt die nichtkommutative Geometrie viele Vereinfachungen aus, die in einem kommutativen Zusammenhang möglich sind, und sie setzt die Berücksichtigung des Wortes in seiner vorgefundenen Gestalt voraus.

In der nichtkommutativen Geometrie wird die gleiche tiefgreifende Veränderung wie bei Descartes vollzogen: Die Geometrie wird algebraisch ausgedrückt, aber diese Algebra ist nicht mehr kommutativ. Ihre Entdeckung begann im Großen und Ganzen im Jahr 1925, mit Heisenberg und der Quantenmechanik. Sein Interesse an der Quantenmechanik führte Connes zur nichtkommutativen Geometrie, der er seine weitere berufliche Laufbahn widmete.


3. Arbeitsmethode
Connes arbeitet teils mit Bleistift, teils mit Computer. Er hat eine große Sammlung von Heften voller Bleistiftaufzeichnungen zu Hause. Aber er geht auch viel spazieren, denn seit Beginn seiner Laufbahn glaubt er fest, man müsse alle Rechnungen im Kopf, ohne Zuhilfenahme von Maschinen, ausführen können. Andernfalls verstehe man die Rechnung nicht wirklich. Bevor er sich an den Computer setzt, dreht er also lieber eine Runde und überlegt dabei, wie er ein noch so kompliziertes Rechenproblem geschickt lösen kann. Der Computer dient ihm dann zur Überprüfung.


4. Rolle der Intuition
Für Alain Connes ist der Mathematiker ein Forschungsreisender, der sich in einer Art geographischem Raum bewegt. Er muss einen inneren Antrieb haben, und dieser Antrieb ist im Wesentlichen poetischer Natur. Das Erstaunliche an manchen Gedichten ist nämlich, dass sie in bestimmten Sätzen Bestrebungen und Eingebungen verdichten, die vor allem ein Ergebnis „in Gang setzen“, nicht aber bereits das fertige Resultat liefern sollen. Und dieses Ergebnis kann man dann überprüfen. Es gibt einen Bereich der Forschung, der am wenigsten fest umrissenen ist und in dem die Eingebung eine große Rolle spielt. Da löst der Antrieb einen Schwung aus, und das kann man unmöglich weitergeben, in eine Formel oder in die übliche mathematische Schrift bringen. Das kann man nur auf poetische Art und Weise vermitteln.

Alain Connes war auf folgendes Problem gestoßen: Vor einigen Jahren, als er auf dem Gebiet der Zeichentheorie arbeitete, bemerkte er in einer von ihm untersuchten Formel ein verkehrtes Zeichen, nämlich ein Minuszeichen anstelle eines Pluszeichens. Niemand verstand den Grund dieser Verdrehung. Erst durch die Lektüre von Physikbüchern zum Thema „Emissionsspektren“ erfolgte der Anstoß zur Lösung des Problems. Wenn man das Spektrum eines Körpers anschaut, bemerkt man helle Striche auf schwarzem Grund, die so genannten Spektrallinien. Und wenn man die Sterne betrachtet, stellt man fest, dass sie ein Absorptionsspektrum haben, das etwas ganz anderes bedeutet: Anstelle von Lichtstrahlen, die mit genauen Frequenzen ausgestrahlt werden, gibt es in der Sternatmosphäre chemische Körper, die bestimmte Frequenzen absorbieren. Für Alain Connes war dies der Grund für das Pluszeichen. Natürlich kann man so keinen Artikel schreiben. Aber von einer solchen Idee fühlt man sich angelockt, sie verleiht poetische und intuitive Kraft. Dadurch kam Connes weiter, bis er eines Tages eine Formel fand und die Richtigkeit der Idee aufzeigen konnte.

In der mathematischen Kreativität gibt es also eine Phase, für die sich keine Normen aufstellen lassen. Man darf nicht zu schnell das Ergebnis anstreben. In diesem Abschnitt ist die Idee wie ein kleines Kind: Man muss sie schützen, damit sie sich entwickeln kann. Erst viel später kommt etwas Konkretes dabei heraus, und das hat etwas durch und durch Poetisches. Einige Gedichte sind deshalb wunderbar, weil man in ihnen ein Geheimnis wahrnimmt, weil sie zeigen, dass sich hinter bestimmten Dingen andere verstecken … An diesem Punkt treffen sich Mathematik und Dichtung.


5. Der Platonismus in der Mathematik; das Standardmodell
Alain Connes erklärt uns seine Auffassung von der mathematischen Realität. Einerseits gibt es die mathematische Welt als solche, die nach dem Modell der platonischen intelligiblen Realität verstanden wird, andererseits sämtliche Instrumente, die wir entwickeln, um unser mentales Bild dieser platonischen Welt zu verbessern: den Formalismus, die axiomatischen Ableitungen usw. Auf der einen Seite steht das „Gericht“, das über bestimmte Tatsachen verfügt, auf deren Grundlage es über „Wahrheit“ und „Unwahrheit“ entscheidet, auf der anderen Seite steht die äußere Realität. Es geht darum, die Wahrheit der Gerichtsentscheidungen, ihre Übereinstimmung mit der „platonischen“ mathematischen Realität nachzuweisen. Aber man weiß heute, dass die meisten wahren mathematischen Behauptungen nicht beweisbar sind.

Während der Forschungsarbeit ähnelt der Mathematiker einem Jäger, der sich der Beute nahe fühlt. Das treibt ihn an, das lässt ihn bis spät in die Nacht arbeiten ... Einige mathematische Probleme sind so komplex, dass es entmutigend wäre, sie frontal in Angriff zu nehmen. Daher die Notwendigkeit, wie bei einer Forschungsreise eine Art Basislager zu errichten und die Forschungen schrittweise vorzunehmen.

Dank eines ständigen Wechselspiels zwischen Beobachtung und Theorie verstanden die Physiker schließlich, dass Maxwells Entdeckungen in der Elektromagnetik durch eine viel kompliziertere Formel ersetzt werden müssen, die „Standardmodell“ genannt wird. Während die alte Formel eine Viertelzeile umfasste, erstreckt sich die neue fast über eine ganze Seite. Connes hat sich immer für diese höchst komplexe Formel interessiert, er schwört auf sie. Wenn man die Gravitation hinzufügt, die in der Formel nicht unmittelbar berücksichtigt wird, erklärt diese Formel unter anderem eine unberechenbare Zahl von Experimenten, die Atome, das Periodensystem und Interaktionen, die sich in der Europäischen Organisation für Kernforschung CERN (Organisation Européenne pour la Recherche Nucléaire, vormals Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) vollziehen.


6. Das Problem der Längeneinheit: vom Meter zu den Spektrallinien
Alain Connes erinnert an das uralte Problem der Längeneinheit. Im Mittelalter stand an jedem Dorfeingang ein Symbol, das die von den Bewohnern benutzte Raumeinheit darstellte. Zur Zeit der Französischen Revolution gab es 2000 verschiedene Längeneinheiten. In dem Streben nach Vereinheitlichung wandte man sich an die bedeutendsten Gelehrten der Zeit. Es wurde unter anderem erwogen, die Länge des Pendels zugrunde zu legen, das die Sekunde schlägt, doch diese Möglichkeit wurde verworfen, da sich diese Länge in Abhängigkeit von der Höhe verändert. Engländer und Franzosen konnten sich nicht auf die Höhe einigen, die sie als Urmaß nehmen wollten. Dann wurde vorgeschlagen, die Grundeinheit als einen winzigen Anteil des Erdumfangs zu definieren. Eine Expedition maß den Abstand zwischen Barcelona und Dünkirchen, die auf demselben Längenkreis liegen. Daraufhin wurde der Meter als Maßeinheit festgelegt, ein Platin-Urmeter in Paris hinterlegt und ein entsprechendes Abkommen geschlossen. Doch um die 1930er-Jahre herum stellte man eine Längenveränderung des Meters fest.

Erst 30 Jahre später einigte man sich darauf, die Wellenlänge einer Spektrallinie als Grundlage für die Längeneinheit zu verwenden: Man nimmt von einem Körper, zum Beispiel Krypton, emittierte Spektrallinien und verwendet ein bestimmtes Vielfaches der Wellenlänge als Maßeinheit. (Definition des Kryptonmeters: Ein Meter entspricht genau dem 1650763,73 fachen der Wellenlänge der orangeroten Spektrallinie von 86Krypton im Vakuum. – A. d. Ü.) Heute verwendet man Cäsium, und bald wird es Wasserstoff sein.

Alain Connes betont folgenden erstaunlichen Tatbestand: Der Übergang vom Urmeter zur Spektrallänge sei genau derselbe wie der von der kommutativen zur nichtkommutativen Geometrie. Was gewinnt man beim Wechsel vom metrischen System zur Wellenlänge? Connes hält diese Frage für einfach beantwortbar. Angenommen, man will das metrische System in der Galaxis vereinheitlichen und sagt den Bewohnern im fernsten Winkel der Galaxis, dass das Urmeter in Paris aufbewahrt wird und dass sie sich zum Abgleichen ihrer Maße dort hinbegeben müssen … Das ist schwierig! Nimmt man dagegen das Spektrum des Wasserstoffatoms, kann man diesen Bewohnern erklären, dass eine der Spektrallinien die Längeneinheit bildet. Wasserstoff ist überall im Weltall vertreten, das ist ein Riesenvorteil.


7. Der Schritt in Richtung Physik
Alain Connes kommt auf die Ursprünge seines Interesses für die Physik zurück. Bereits 1987-88 hatte er sich für das Standardmodell interessiert, nachdem er zufällig auf Elemente der Formel gestoßen war, an der er gegenwärtig arbeitet. Zwanzig Jahre Forschungen auf anderen Gebieten, Versuche und Umwege waren notwendig, um zu der Formel zu gelangen, die er kürzlich überprüft hat. Diese Formel ist höchst komplex, aber aus einem äußerst einfachen Verfahren gewonnen: Es geht darum, die Anzahl von Spektrallinien zu zählen, die kleiner sind als die Planck-Masse. Dabei kommt man auf eine Zahl, deren Entwicklung zu der Formel führt. Die Berechnungen sind unglaublich kompliziert, aber das Prinzip ist sehr einfach. Es handelt sich um eine Entropie, und man zählt die Anzahl der Freiheitsgrade, die spektral verfügbar sind. Dem liegt zugrunde, dass wir das Universum nur spektral wahrnehmen. Wir rekonstruieren ein Bild des Universums, aber wir beziehen all unsere Informationen über die Augen, also spektral, durch Farben usw. Als anschauliches Beispiel führt Connes Fraunhofers Entdeckung des Absorptionsspektrums an. Die Ausgangsidee war verrückt: Fraunhofer beschloss, das Licht durch ein Prisma zu beobachten und den Regenbogen im Mikroskop anzuschauen! Auf diese Weise sah er schwarze Linien, und nachdem er sich von der Sauberkeit seiner Beobachtungsgeräte überzeugt hatte, konnte er ein Verzeichnis dieser Absorptionslinien anlegen.

„Es ist einfach wunderbar“, sagt Alain Connes, „wenn man einen entfernten Stern betrachtet, sind diese Absorptionslinien die einzige Information, die erscheint! Betrachtet man sehr weit entfernte Sterne oder Galaxien, stellt man fest, dass die schwarzen Streifen in Rot übergehen, und so versteht man, dass sich das Universum ausdehnt …“ Alle unsere Informationen aus dem Weltall gelangen spektral zu uns. Der Grundsatz der nichtkommutativen Geometrie besagt, dass alles spektral ist und dass der materielle Raum, an den wir mit Koordinaten herangehen, sekundär ist bzw. auf dem ersten beruht. Alain Connes postuliert ein Invarianzprinzip, dem zufolge alles spektral ist.

Heute arbeitet Connes mit vielen Physikern zusammen, und seine Forschung fällt, wie er einräumt, im Wesentlichen ins Gebiet der Physik. Gleichzeitig ist die mathematische Seite wegen der wichtigen Rolle der Berechnungen weiterhin sehr präsent. Außerdem wird die Mathematik zur Ausarbeitung der Konzepte gebraucht, auf deren Grundlage sich die Forschung weiterentwickelt.

Doch die Mathematik ist wegen der grundlegenden Rolle der Berechnungen, aber auch für alles, was die zum wissenschaftlichen Fortschritt notwendigen Begriffserfindungen betrifft, weiterhin von großer Bedeutung.