1. Son parcours institutionnel et professionnel
La passion d’Alain Connes pour les mathématiques s’est déclarée lorsqu’il était encore au lycée. Peu après, il intègre l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm et entame ses premiers travaux de recherche. Chercheur précoce, il refuse de passer l’agrégation, synonyme de retour en arrière par rapport aux travaux qu’il vient d’engager. Il intègre ensuite le CNRS, où il reste 4 ans. Il y rédige sa thèse, ce qui lui permet de devenir mathématicien professionnel. Il part ensuite au Canada pour y faire sa « coopération » dans le cadre du service national. A son retour en France, un an et demi plus tard, il accepte un poste à l’université. « Erreur terrible » selon ses dires, car il est accaparé par ses fonctions d’enseignant et regrette le CNRS.

Après un passage difficile à Jussieu, il enseigne à la rue d’Ulm et s’épanouit dans son travail de professeur, devant des jeunes élèves passionnés de mathématiques. Après un nouveau passage au CNRS (en 1981), il intègre le Collège de France (1985), où il enseigne toujours. L’enseignement au Collège de France ne représente que 18 heures de cours effectives par an, ce qui semble très peu, mais comme la règle stipule que l’enseignement doit porter uniquement sur des travaux qui ne sont pas encore publiés, cela représente beaucoup de travail. En réalité, cette exigence qui consiste à n’enseigner que la recherche telle qu’elle est en train de se faire est très contraignante et demande de gros efforts. Cela suppose des remaniements, des innovations continuelles… c’est à la fois très satisfaisant, car c’est un moteur pour le chercheur, et très difficile, car il est exclu de refaire deux fois le même cours ou de parler de choses connues…
 
2. Le regard sur son travail, l'importance de la physique et une définition de son domaine de recherche, la géométrie non commutative
Au fil des années, Alain Connes s’intéresse de plus en plus à la physique et non plus aux seules mathématiques pures. Il ne s’agit pas d’un passage aux mathématiques « appliquées », mais d’une recherche de modèles plus précis de l’espace ou de l’espace-temps. Son sujet de recherche, ce qui l’occupe depuis son adolescence, c’est la géométrie non commutative, qui a évolué au fil du temps. On peut l’expliquer de la manière suivante : nous avons une perception visuelle de la géométrie. Même les non spécialistes parviennent à avoir une image mentale des objets géométriques et de la géométrie en général.

Au départ, sous l’influence des Grecs, la géométrie était formulée de manière axiomatique, c’est-à-dire en fonction d’un certain nombres de règles. Par exemple : par un point situé hors d’une droite il ne passe qu’une seule parallèle à cette droite. Cela rendait la géométrie assez proche d’un jeu formel, puisqu’un jeu formel cela revient à faire des déductions logiques à partir d’un certain nombre d’axiomes. Plus tard, avec la découverte de l’algèbre, les choses ont changé. Avec l’algèbre, il devient possible d’additionner un carré et un cube, ce qui paraît bizarre et contre intuitif. Or l’algèbre a commencé à partir du moment où les mathématiciens ont franchi ce pas : définir un polynôme,  une somme de monômes, dont l’un peut être un carré et l’autre un cube. On s’est ensuite aperçu que la géométrie projective était équivalent à quelque chose d’entièrement algébrique. Descartes a compris qu’on pouvait faire de la géométrie non pas en déduisant des conséquences d’axiomes mais en faisant des calculs algébriques. En traçant des courbes à partir de calculs algébriques on obtient un autre moyen de comprendre, qui ne se réduit pas aux déductions formelles. Cette nouvelle orientation a eu toutes sortes de conséquences, et a permis de produire des mathématiques très fortes. Cela a rendu possible le calcul infinitésimal, Newton, etc. On sait maintenant qu’il y a une partie du cerveau qui raisonne de manière géométrique et une autre qui raisonne de manière algébrique ou linguistique. La partie linguistique écrit des phrases.

Qu’en est-il de la géométrie non commutative ? En algèbre commutative, lorsqu’on écrit une phrase, on ne retient d’elle que le nombre de a, de b, de c, etc. Tout ce qui compte, c’est le nombre de fois qu’apparaissent les lettres. Dans la géométrie non commutative au contraire, on garde les mots tels qu’ils sont, et il est interdit de changer l’ordre des lettres dans un mot. Par exemple la géométrie commutative distingue allant sonner et Alain Connes (expressions anagrammes) tandis que l’algèbre commutative les confond. C’est pourquoi la géométrie non commutative est beaucoup plus compliquée : elle exclut de nombreuses simplifications qui sont possibles dans un cadre commutatif, et elle demande de prendre en compte le mot tel qu’il est sans le modifier.

La géométrie non commutative opère le même bouleversement que celui qui s’était manifesté avec Descartes : la géométrie est exprimée de manière algébrique, mais cette algèbre n’est plus commutative ! Or la physique regorge d’espaces qui ne peuvent pas être encodés par la géométrie commutative, qui est beaucoup trop simple. Ces espaces nécessitent absolument d’être traités par le biais de la géométrie non commutative. Leur découverte date en gros de Heisenberg, en 1925, avec la mécanique quantique.
C’est d’ailleurs par le biais d’un intérêt pour la mécanique quantique qu’Alain Connes en est venu à s’intéresser à la géométrie non commutative, qui allait se construire tout au long de sa carrière.
 
3. Comment se passe la recherche d’un mathématicien, l’importance de l’histoire des mathématiques, le rôle de l’expérimentation…
Alain Connes décrit la recherche mathématique comme un travail d’exploration. La première qualité requise pour amorcer une recherche c’est le courage. C’est un peu comme de grimper le long d’une paroi sans jamais regarder en bas, on ne peut pas revenir en arrière, refaire les calculs, etc. C’est cela qui permet d’avoir une intuition, et de chercher à développer cette intuition par la suite. Cela peut prendre des semaines voire des mois, et c’est très obsessionnel de chercher ainsi. Mais ce n’est pas la période la plus stressante, qui est celle de la vérification et de l’expérimentation. Il s’agit de vérifier que des calculs extrêmement compliqués qu’on a fait donnent effectivement le résultat qu’on pensait. Et ça c’est terrible parce que la moindre erreur quelque part peut tout annihiler. Comme lorsqu’on se met à se demander si on a bien pensé à fermer la fenêtre de son appartement qu’on vient de fermer, on ne peut s’empêcher de refaire les calculs et de vérifier les raisonnements sur lesquels on travaille : le cerveau fonctionne tout seul, on ne décide pas cela. Ce mécanisme déclenche parfois une alarme au milieu de la nuit, il est capable de nous réveiller. Cet été, Alain Connes a traversé une période de ce type, « au bord du gouffre » comme il dit, pendant les deux mois qui ont été nécessaires à la vérification d’une formule.
 
4. En quoi consiste son travail, concrètement. Le concours d’entrée à l’École Normale Supérieure
Alain Connes travaille à moitié au crayon, à moitié à l’ordinateur. Il a chez lui une grande collection de carnets recouverts d’annotations au crayon à papier. Mais il passe également beaucoup de temps à marcher. Depuis ses débuts, il s’est convaincu qu’il n’y a pas de calcul qu’on ne puisse faire de tête. Selon Alain Connes, un calcul qu’on ne peut pas faire de tête est un calcul qu’on ne comprend pas. Donc quelle que soit la complexité du calcul, il préfère aller faire un tour à pied, et réfléchir à la manière dont les choses peuvent s’agencer, avant de commencer à utiliser l’ordinateur. L’ordinateur joue son rôle davantage au niveau de la vérification qu’au niveau de la découverte. Pour trouver quelque chose, on est vraiment seul, et il n’y a plus que le papier et le crayon, et parfois rien du tout…

Alain Connes évoque le mot d’un mathématicien qui disait que le plus difficile en mathématiques c’est de convaincre ses collègues, lorsqu’on est allongé sur un sofa, qu’on est en train de fournir le plus gros effort…Il se souvient aussi que lorsqu’il a passé le concours de l’École Normale, il a échoué à une épreuve où il a rendu copie blanche, tandis que son voisin de table n’avait pas cessé d’écrire pendant les 6 heures imparties. Il n’a trouvé la solution qu’en sortant, sans avoir pu écrire une ligne. Mais il a réussi brillamment d’autres épreuves et a fini par être admis, tandis que l’étudiant qui était à côté de lui a été recalé…Devant un problème complexe, chacun doit trouver par ses propres moyens, il n’y pas de recette, nous sommes tous différents de ce point de vue. Mais il vaut mieux avoir quelque chose à écrire pour noircir utilement le papier !
 
5. Le rôle de l’intuition
Pour Alain Connes, le mathématicien est un explorateur qui se déplace dans une sorte de géographie. Il doit avoir un moteur interne, et ce moteur est de nature essentiellement poétique. Ce qui vraiment étonnant à la lecture de certains poètes, ce qu’on s’aperçoit qu’ils arrivent à condenser dans certaines phrases des aspirations, des intuitions dont le but essentiel est de « mettre en route », et non de donner un résultat qu’ensuite les gens pourraient vérifier. Dans la partie de la recherche qui est la plus mal définie, où l’intuition joue un grand rôle, le moteur c’est ce qui donne un élan, et c’est quelque chose qui est impossible à transmettre, à traduire en formule ou en écriture mathématique ordinaire. C’est quelque chose qui ne peut se transmettre que de manière poétique.

Alain Connes développe un exemple. Il y a quelques années il travaillait en théorie des nombres, et il s’est aperçu que dans une formule qu’il étudiait il y avait un signe qui était faux, inversé : à la place d’un « + » il y avait un « - ». Personne ne comprenait la raison de cette interversion. C’est en consultant des livres de physiques que la solution devient accessible. Il faut considérer ce qu’on appelle les spectres d’émission. Si on regarde le spectre d’un corps on constate des raies claires sur un fond noir. Et quand on regarde les étoiles on s’aperçoit qu’elles ont un spectre d’absorption, qui signifie tout autre chose : au lieu qu’il y ait des rayons lumineux émis avec des fréquences précises, le spectre d’absorption revient à dire que dans l’atmosphère de l’étoile, il y a des corps chimiques qui absorbent certaines fréquences. Alain Connes avait eu l’idée que le signe « - » devait venir de là. Bien sûr, dit-il,  on ne peut pas écrire un article comme ça. Mais une telle idée donne une attirance, une force poétique et intuitive. Elle lui a permis d’avancer jusqu’au jour où il a réussi à mettre cela en formule, et à montrer que l’idée était parfaitement juste.

Il y a donc une période dans la créativité mathématique qu’on ne peut pas codifier. Il ne faut pas chercher le résultat trop vite. Pendant cette période, l’idée est comme un enfant en bas-âge, il faut la protéger pour qu’elle puisse se développer. Elle ne donnera quelque chose de concret que longtemps après, et ça c’est entièrement du ressort de la poésie. Certains poèmes sont merveilleux parce qu’ils arrivent à faire percevoir un mystère, à montrer que derrière certaines choses il y en a d’autres qui se cachent…Les mathématiques et la poésie se rejoignent sur ce point.

• Lire les questions de 6 à 11.